مقاله حل مسایل مقدار اولیه-مرزی دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه بالا غیرخطی بوسیله شبکه های عصبی مصنوعی پیشخور در 14 صفحه ورد قابل ویرایش 

مقاله چند بعدی

حل مسایل مقدار اولیه- مرزی دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه بالا غیر خطی بوسیله شبکه های عصبی مصنوعی پیشخور.

چکیده

در این مقاله روش جدید عمومی برای حل علمی مسایل مقدار اولیه- مرزی دستگاه معادلات جزئی بخصوص مراتب بالا و غیرخطی در یک ابرمکعب سیلندری ارائه می شود. این روش یک روش مش- فری بوده و جدایی بفرم بسته تحلیلی تولید میکند. ترکیبی از مفاهیم شبکه های عصبی مصنوعی و ابزارهای بهینه سازی چند بعدی در این روش بکار میرود. بوسیله مفاهیم تقریب توابع چندمتغیر، وابسته به مباحث شبکه های عصبی مصنوعی پیشخوار و نیز بکمک هم محلی در نقاطی مشخص، حل مسئله مقدار اولیه- مرزی به مسئله بهینه سازی نامتغیر یک تابع انرژی تبدیل میگردد. بعبارت دقیقتر یک جواب آزمون عصبی برای مسئله مقدار اولیه- مرزی متشکل از مجموع دو قسمت در نظر میگریم: قسمت اول در شرایط اولیه- مرزی (زمانی- فضایی) صدق میکند، درحالیکه قسمت دوم شامل متغیرهای لازم برای مینیمم سازی تابع خطای مسئله میباشد و بکمک یک شبکه عصبی سه لایه و پیشخور شبیه سازی گشته و برای صدق در دستگاه معادلات دیفرانسیل مسئله آموزش میبیند. این روش را میتوان بعنوان تعمیمی مناسب از روشهای معینی در نظر گرفت. کاربرد این روش جدید صرفنظر از نوع شرایط اولیه- مرزی در دامنه ای از یک معادله دیفرانسیل معمولی تا دستگاهی از معادلات دیفرانسیل جزئی متغیر است.

کلمات کلیدی:

دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی وابسته بزمان- مسایل مقدار اولیه- مرزی- شبکه های مصنوعی پیشخور- یادگیری نظارت بهینه سازی نامقید چندبعدی.

1.مقدمه:

در علوم مهندسی اغلب سیستمهای دنیای واقعی که با معادلات دیفرانسیل توصیف شده اند، شامل چندین شرط اولیه یا مرزی وابسته به شرایط فیزیکی مسئله نیز میباشند. مهمترین شاخص در مورد هر مسئله مقدار اولیه- مرزی برای یک دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی عبارتست از خوش‌خیمی آن یعنی وجود و یکتایی جواب مسئله بسته بنوع معادلات و نیز نوع شرایط اولیه- مرزی قابل بحث است. مانند سایر مسایل روشهای زیادی هر چند مشکل، برای حل غیرتحلیلی چنین مسایلی وجود دارد از قبیل روشهای جداسازی متغیرها، تبدیلات انتگرالی، تغییر مختصات، تغییر متغییر وابسته، معادلات انتگرال و . . . ارزش این روشها زمانی مشخص تر میشود که برای مسایلی بکار بروند که جواب تحلیلی نداشته یا جواب تحلیلی‌شان مستقیما قابل محاسبه نباشد. این ارزش در صورت توانایی بکارگیری روش برای دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی (وابسته بزمان) از مراتب بالا و غیرخطی، دوچندان میشود.

در ریاضیات کاربردی عبارتند از همگرایی، پایدار علمی، سازگاری و خوشحالی عددی آنها. سه دسته مجزا برای این روشهای حل غیرتحلیلی میتوان در نظر گرفت: روشهای تغییراتی، روشهای بسطی و روشهای علمی. در روشهای تغییراتی معادلات دیفرانسیل مسئله را بهمراه شرایط اولیه- مرزی آن بیک مسئله مینیمم سازی تابعکی مناسب در یک فضای تابعی تبدیل کرده و با حل این مسئله بهینه سازی جواب مسئله اصلی را بدست میاوریم. مهمترین مشکل چنین روشهایی تعریف مناسب تابعکهای مورد نیاز میباشد.

در روشهای بسطی (طیفی و شبه طیفی) مانند روشهای هم محلی و گالرکین یا روشهای سری فوریه، سری وزنوله متناهی جواب تقریبی مسئله را بکمک یک دسته از توابع پایه ای (چندجمله ایهای متعامد) در نظر گرفته و با تحویل مسئله اصلی بیک دستگاه معادلات (خطی) ضرایب مجهول سری مذکور را بدست میاوریم مهمترین مشکلات این روشها نحوه انتخاب توابع پایه ای و چگونگی محاسبه ضرایب مجهول، میباشد.

مهمترین کاربردهای انواع مختلف شبکه های عصبی عبارتند از: تشخیص گفتار، پردازش تصویر، سیستم کنترل، هوش مصنوعی، تشخیص چهره، جریان سیالات، سریهای زمانی، سیستمهای دینامیکی و . . . .

مراجع متفاوتی شامل منابع نرم افزاری متنوع در مورد تئوری، ریاضیات، مدلسازی، الگوریتم، طراحی، معماری و کاربردهای شبکه های عصبی مصنوعی وجود دارد که برای مطالعه بیشتر میتوان بدانها مراجعه نمود.

شبکه های عصبی از واحدی محاسباتی بنام عصب تشکیل شده اند. هر عصب تعدای ورودی غددی دارد. درون عصب هر ورودی در ضریب عصبی متناظرش که بنانگر ارزش آنست ضرب شده و مجموع همه این مضارب با مقداری بنام اریب جمع میشود. نهایتاً تابع تحریک روی این مجموع اثر گذاشته و خروجی حقیقی عصب را بطور پیشخور تعیین میکند.

معمولا در اکثر کاربردها حداقل شرایط برای شکل تابع تحریک در کلیترین حالت عبارتست از اس- شکل (زیگموئید) تعمیم یافته بودن، یعنی یکنو (غیر تروپی) بودن تابع و اینکه حد تابع تحریک در مثبت و منفی بینهایت متنهای باشد. دو نوع مناسب از چنین توابعی، تانژانست هیپربولیک و اوژستیک با ضابطه میباشد که ما در استفاده از مورد دوم قرار میدهیم.

در چنین سازمانی برای عصب منظور از یادگیری عبارتست از تعیین مقادیر عددی بهینة ضرایب عصبی، بنحویکه با معلوم بودن ورودیها، خروجی عصب قابل محاسبه باشد. اولین روش یادگیری برای مدل عصبی مذکور به قانون یادگیری عصب معروفست. که چون براساس مینیمم سازی میزان اختلاف بین مقادیر محاسبه شده و مطلوب خروجی عصب کار میکند، یادگیری با سرپرست نامیده میشود. قدرت اصلی شبکه های عصبی، نشأت میگیرد. ساده ترین توپولوژی شبکه های عصبی بصورت گروهی از عصبهاست که در یک لایه سامان داده شده و یک یا چند ورودی مشترک دارند و شبکه تک لایه یا پرسپترون نامیده میشوند. (ممکن است خروجی یک عصب وردی عصب یا عصبهای دیگر بوده و شبکه بازگشتی باشد.)

معماری شبکه های عصبی چند لایه از چند شبکه تک لایه بصورت آبشاری بدنبال هم قرار گرفته اند و عصبهای لایه های متوالی حداقل یک ورودی (خروجی) مشترک دارند، تشکیل میشود. در شبکه های عصبی چند لایه و پیشخور که در این مقاله در نظر گرفته میشوند، بازگشتی وجود نداشته و خروجیهای عصبهای هر لایه ورودیهای عصبهای لایه بعدی را تشکی میدهند. چنین شبکه ای از عصبها پرسپرترون چند لایه نامیده میشود. در معماری پرسپترونهای چند لایه، عصبهایی که به ورودیها متصلند لایه ورودی، عصبهایی که به خروجیها متصلند لایه خروجی و سایر عصبها لایه های میانی (پنهان) را تشکیل میدهند. بدین ترتیب چنین شبکه ای میتواند یک نکاشت غیرخطی از ورودیها به خروجیها برقرار کند. بعبارت دیگر شبکه‌های عصبی پیشخور بصورت یک جعبه سیاه توانایی برقراری ارتباطی نامعین بین ورودیها و خروجیهای یک سیستم را دارا میباشند و ایم امر مناسبست برای تحلیل سیستمهایی که با مسایل مقدار اولیه- مرزی توصیف شده اند که جواب تحلیلی نداشته یا جواب تحلیلی شان بسادگی قابل محاسبه نیست.